Syn Marcina i Marii (z domu Wiśniewska). Według księgi chrztów kościoła parafialnego p. w. Najświętszego Serca Jezusowego (św. Ottona) w Słupsku urodził się w czwartek 11 marca 1915 roku, gdzie został również ochrzczony. Po ukończeniu czterech klas szkoły podstawowej pobierał naukę w Państwowym Gimnazjum Humanistycznym w Bydgoszczy, do której rodzina przeniosła się w 1919 roku, po odzyskaniu przez Polskę niepodległości. Był prezesem Sodalicji Mariańskiej. W 1936 roku rozpoczął studia teologiczne wstępując do Wyższego Seminarium Duchownego we Włocławku. W kwietniu 1939 roku przyjął dwa niższe święcenia kapłańskie i otrzymał promocję na czwarty kurs. Naukę przerwał po wybuchu II wojny światowej. Nocą 7 listopada 1939 roku Gestapo aresztowało ks. Kostkowskiego wraz z innymi alumnami i profesorami. Ze względu na miejsce urodzenia oferowano mu zwolnienie w zamian za wyrzeczenie się kapłaństwa, które zdecydowanie odrzucił. 16 stycznia 1940 roku przewieziono go do klasztoru księży salezjanów w Lądzie, w sierpniu tego samego roku wywieziono do Szczeglina, a dwa dni potem do Sachsenhausen. Od 14 grudnia przebywał w obozie zagłady w Dachau. Otrzymał numer obozowy 22828.

W jednym z ocalałych listów pisał do rodziny:

„Raczej śmierć wybiorę, niż sprzeniewierzę się powołaniu, którym Bóg mnie zaszczycił”.

27 września dwa lata później zmarł na gruźlicę. Ciało spalono w krematorium.

13 czerwca 1999 roku Ojciec Święty Jan Paweł II podczas siódmej podróży apostolskiej do Polski, w czasie Mszy Świętej odprawionej w Warszawie beatyfikował 108 męczenników, Polaków, którzy ponieśli śmierć w wyniku reżimu hitlerowskiego. Ksiądz Bronisław Kostkowski jest męczennikiem za wiarę, który po 10-letnim procesie beatyfikacyjnym został błogosławionym.

Uchwałą Rady Miejskiej z 28 kwietnia 2004 roku Bronisław Kostkowski ustanowiony został patronem miasta Słupska.

„W naszym stuleciu wrócili męczennicy. A są to często męczennicy nieznani, jak gdyby nieznani żołnierze wielkiej sprawy Bożej. Jeśli to możliwe, ich świadectwa nie powinny zostać zapomniane w Kościele... Trzeba, ażeby Kościoły lokalne, zbierając konieczną dokumentację, uczyniły wszystko dla zachowania pamięci tych, którzy ponieśli męczeństwo. Będzie to miało niewątpliwie charakter i wymowę ekumeniczną. Chyba najbardziej przekonujący jest ten ekumenizm świętych, męczenników. Communio sanctrorum mówi głośniej aniżeli podziały. Martyrologium pierwszych wieków stanowiło podstawę kultu świętych. Głosząc i wielbiąc świętość swoich synów i córek, Kościół oddawał najwyższą cześć Bogu samemu”. Jan Paweł II, z listu apostolskiego „Tertio millennio adveniente”.